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#                          FÍSICA COMPUTACIONAL II                           #
#                                   por                                      #
#                         Francisco  Carlos  Lavarda                         #
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Tutorial de MAXIMA: Funções Ortogonais
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** Exemplos de ortogonalidade de funções.
 
** As funções sen(x) e cos(x) são ortogonais em um intervalo que contenha um
período, como x=[0,2pi]. Funções ortogonais são aquelas cuja integral do
produto delas se anula em um determinado intervalo (que depende da "família"
de funções que se considere).

Veja que sen e cos são ortogonais:

integrate((sin(x)*cos(x)),x,0,2*%pi);

Já o produto de sen*sen não se anula:

integrate((sin(x)*sin(x)),x,0,2*%pi);

nem o de cos*cos:

integrate((cos(x)*cos(x)),x,0,2*%pi);

e ambas resultam pi. 

** As funções cos(mx), m>=1, que são usadas nas Séries de Fourier, formam um
conjunto de funções ortogonais no intervalo [0,2pi]. Por exemplo, as funções
cos(2x) e cos(3x) são ortogonais neste intervalo. O mesmo vale para o
conjunto de funções sen(mx), m>=1. Faça os testes.

** Funções "ortonormais" (ortogonal e normal) são funções ortogonais cujas
integrais resultam 1 (quando trata-se do produto da função por ela mesma) ou
0 (produto cruzado). Veja que sen(x)/sqrt(pi) e cos(x)/sqrt(pi) formam um
conjunto assim, refazendo os comandos acima corretamente modificados.

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** Para trabalhar com os polinômios ortogonais em geral, carregue a livraria
orthopoly:

load("orthopoly");

** Vamos exemplificar os comandos, com os Polinômios de Legendre do primeiro
tipo, que formam um conjunto de funções ortogonais em intervalos simétricos
ao redor de x=0.

** Imprimir o Polinômio de Legendre de ordem n:

legendre_p(n,x);

em que n deve ser um número inteiro maior ou igual a zero.

** Para apresentar o resultado como potências de x:

rat(%);

(ou ratsimp(%)).

** Fazer o gráfico do Polinômio de Legendre de ordem n:

plot2d(legendre_p(n,x),[x,-1,1]);

em que n deve ser um número inteiro maior ou igual a zero. 

** Conferir a ortogonalidade dos Polinômios de Legendre:

integrate((legendre_p(n,x)*legendre_p(m,x)),x,-1,1);

em que n e m devem ser números inteiros maiores ou iguais a zero. 

** Outras funções ortogonais têm sua ortogonalidade definida como uma
integral que além do produto de duas funções da família, ainda contém uma
terceira função. Estas integrais, em suas formas genéricas, são conhecidas
como "relações de ortogonalidade".

** Polinômios de Hermite:

integrate((hermite(n,x)*hermite(m,x)*exp(-x^2)),x,-inf,inf);

em que n e m devem ser números inteiros maiores ou iguais a zero. Neste
caso, o intervalo é [-inf,inf] e o resultado vale sqrt(pi)*n!*2^n caso n=m e 0 caso
contrário.

** Polinômios de Laguerre:

integrate((laguerre(n,x)*laguerre(m,x)*exp(-x)),x,0,inf);

em que n e m devem ser números inteiros maiores ou iguais a zero. Neste
caso, o intervalo é [0,inf] e o resultado vale 1 caso n=m e 0 caso
contrário (veja que se trata de funções ortonormais).

** De forma geral, funções ortogonais (FO), obedecem a uma relação de
ortogonalidade do tipo:

integrate((w(x)*FO(n,x)*FO(m,x)),x,xi,xf);

em w(x) é uma "função peso", FO(n,x) é uma função de ordem n na variável x e
x varia no intervalo [xi,xf].

** Confira a ortogonalidade dos conjuntos de funções abaixo:

conjunto                  w(x)             xi    xf
-----------------------------------------------------
chebyshev tipo 1          1/sqrt(1-x^2)    -1    1
chebyshev tipo 2          sqrt(1-x^2)      -1    1
Gegenbauer                (1-x^2)^(a-1/2)  -1    1
Hermite                   exp(-x^2)        -inf  inf
Laguerre                  exp(-x)           0    inf
Laguerre generalizada     exp(-x)*x^a       0    inf
Legendre tipo 1           1                -1    1
Jacobi                    (1-x)^a*(1+x)^b  -1    1

Os parâmetros "a" e "b" são específicos de cada tipo de função e tem
significado próprio para cada uma delas. Caso fique curioso, peça para o
MAXIMA imprimir na tela cada um dos polinômios com estes parâmetros.

Abaixo está reproduzida a tabela mostrada no texto introdutório deste
tópico, que contém os nomes pelos quais o MAXIMA reconhece cada uma das
funções citadas acima e mais algumas.

Função                     Comando Maxima              Condições 	 
-----------------------------------------------------------------------------
Chebyshev tipo 1           chebyshev_t(n, x)           n > -1 	
Chebyshev tipo 2           chebyshev_u(n, x)           n > -1 	
Laguerre generalizada      gen_laguerre(n,a,x)         n > -1 	
Laguerre                   laguerre(n,x)               n > -1 	
Hermite                    hermite(n,x)                n > -1 	
Jacobi                     jacobi_p(n,a,b,x)           n > -1, a, b > -1 
Legendre associada tipo 1  assoc_legendre_p(n,m,x)     n > -1 
Legendre associada tipo 2  assoc_legendre_q(n,m,x)     n > -1, m > -1 	
Legendre tipo 1            legendre_p(n,x)             n > -1 	
Legendre tipo 2            legendre_q(n,x)             n > -1 	
Hankel esférica tipo 1     spherical_hankel1(n, x)     n > -1 	
Hankel esférica tipo 2     spherical_hankel2(n, x)     n > -1 	
Bessel esférica tipo 1     spherical_bessel_j(n,x)     n > -1 
Bessel esférica tipo 2     spherical_bessel_y(n,x)     n > -1 
Harmônicos Esféricos       spherical_harmonic(n,m,x,y) n > -1, |m| <= n
Ultraesferica (Gegenbauer) ultraspherical(n,a,x)       n > -1 	

O MAXIMA apresenta outras funções especiais que não serão estudadas neste
tópico, como as Funções de Bessel, Airy, elípticas, gama, erro, etc.