##############################################################################
#                          FÍSICA COMPUTACIONAL II                           #
#                                   por                                      #
#                         Francisco  Carlos  Lavarda                         #
##############################################################################

Tutorial de MAXIMA: Análise de Fourier
======================================

Transformada de Fourier (TF)
============================

** Crie a função tf, que calculará as TFs que você quiser:

tf(expr,t,w):=(1/sqrt(2*%pi))*integrate(expr*exp(-%i*w*t),t,-inf,inf);

Repare que existem diversas definições diferentes para o cálculo da
TF: o importante é que as definições da TF e da anti-TF sejam compatíveis. A
definição mais simétrica entre TF e anti-TF é a que usamos acima.


** Defina a função f(t):

f(t):=1/(t^2+a^2);


** Calcule a sua TF:

tf(f(t),t,w);

O MAXIMA vai perguntar se w e a são positivos, negativos ou zero. Para w
responda com um p; para a responda com um p também (não o sabemos de fato; é
só para ir para frente).

Compare com o resultado constante da tabela de TFs no verbete "Transformada
de Fourier" em pt.wikipedia.org (haverá uma diferença de uma constante, pois
aquele texto usa outra definição para a TF, confira).

** Para mostrar que a função tf definida acima aceita outras variáveis,
defina a função g(q):

g(q):=%e^(-q^2);

** Calcule a sua TF para a variável v:

tf(g(q),q,v);


** Já o cálculo não vai funcionar para algumas funções bem importantes em
física, como a função "módulo de t":

tf(abs(t),t,w);

Este é um defeito do pacote de integração do MAXIMA.



Série de Fourier
================

** Carregue a livraria "fourie" (não tem r mesmo):

load("fourie");

** Defina a função f(x):

f(x):= x^2;

** Calcule a SF para o intervalo -pi a pi:

fourier(f(x),x,%pi);

Antes de dar a resposta, MAXIMA vai perguntar se "cos(n*pi)" é positivo,
negativo ou zero. Como m vai de 1 a infinito, esta expressão ora vale +1,
ora -1. Responda p ou n então, pois tanto faz.

** Peça uma simplificação da resposta:

foursimp(%);

Restam agora somente os coeficients a´s da SF, uma vez que a função a ser
representada é par e as funções cosseno são pares e as seno são ímpares.

Repare que a última linha de resposta é uma lista.

** Peça a SF baseada na lista acima mencionada, na variável x, no intervalo
[-pi,pi] com os termos até n=5:

fourexpand(%,x,%pi,5);

** Faça um gráfico superpondo f(x) e a SF retornada acima:

plot2d([f(x),%],[x,-%pi,%pi]);

Veja que somente com n<=5 já temos uma SF que representa muito bem x^2, com
exceção das bordas do intervalo.

** Faça um gráfico para ver que fora do intervalo em x [-pi,pi], as duas não
mais são coincidentes:

plot2d([f(x),%o9],[x,-2*%pi,2*%pi]);

Repare que %o9 é o número da resposta do MAXIMA que contém a SF com n<=5 na
seção em que eu preparava este tutorial.

** Faça um gráfico para ver que a SF é periódica, ao contrário de x^2:

plot2d([f(x),%o9],[x,-6*%pi,6*%pi]);

Ou seja: a SF somente é coincidente com a função no intervalo em que nós
dissemos que era o período de x^2. Assim, se quisermos uma SF para uma
função em um determinado intervalo, basta dizer que o período da função
coincide com o tal intervalo.

** Agora vamos calcular a SF para uma função ímpar, f(x)=x, no intervalo de
x=[-1,1]. Portanto o período é igual a 2. A repetição deste segmento de
função é a conhecida função "rampa". Mais apropriadamente, esta função seria
definida como (há outros modos similares de se definir uma rampa):

f(x)=x-a, x no intervalo [a-1,a+1], a=0, +/-2, +/-4, +/-6, ...


Digite no MAXIMA:

f(x):=x;

** Calcule a SF:

fourier(f(x),x,1);

Antes de dar a resposta, MAXIMA vai perguntar se "cos(n*pi)" é positivo,
negativo ou zero. Como m vai de 1 a infinito, esta expressão ora vale +1,
ora -1. Responda p ou n então, pois tanto faz.

** Peça uma simplificação da resposta:

foursimp(%);

Restam agora somente os coeficients b´s da SF, uma vez que a função a ser
representada é ímpar e as funções cosseno são pares e as seno são ímpares.

Repare novamente que a última linha de resposta é uma lista.

** Peça a SF baseada na lista acima mencionada, na variável x, no intervalo
[-1,1] com os termos até n=7:

fourexpand(%,x,1,7);

** Faça um gráfico superpondo f(x) e a SF retornada acima:

plot2d([f(x),%o16],[x,-1,1]);

Veja que somente com n<=7 ainda não temos uma SF que represente muito bem a
reta f(x)=x. 

** Faça um gráfico para ver que a SF é periódica:

plot2d([f(x),%o16],[x,-5,5]);

Neste gráfico já é possível ver o formato da função rampa na curva da SF.

Repita o procedimento acima com números cada vez maiores de termos na SF e
faça o gráfico até achar que a representação é boa o suficiente.