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#                          FÍSICA COMPUTACIONAL II                           #
#                                   por                                      #
#                         Francisco  Carlos  Lavarda                         #
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Tutorial de MAXIMA - SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
                     DE PRIMEIRA ORDEM
                     PELO 
                     MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE 4a. ORDEM
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** Primeiramente é preciso carregar uma livraria:
load("dynamics");


** Suponha que a EDO para a qual se quer a solução numérica seja:

(dx/dt)=t-x**2

com o valor inicial x(t=0)=1, no intervalo de t de 0 a 4 com incrementos de
0.1 (exemplo tomado do Manual do MAXIMA).

Para usar o comando que calcula a solução numérica é conveniente re-escrever
a EDO como visto acima: com a derivada isolada num dos lados da igualdade.


** O comando para se obter a solução numérica pelo método supra citado é:

rk(t-x**2,x,1,[t,0,4,0.1]);

sendo que os argumentos do comando rk são: (1) a expressão para a primeira
derivada; (2) a variável dependente; (3) o valor inicial da variável
dependente; (4) os dados sobre a variável independente: (4.1) a variável
independente; (4.2) o valor inicial da variável independente; (4.3) o valor
final da variável independente; (4.4) o incremento da variável independente.

A resposta neste exemplo é uma lista de pares ordenados: a abcissa varia de
0 a 4 com incremento de 0.1 e a ordenada é o valor obtido numericamente.


** Caso você queira gerar uma lista para fazer um gráfico:

lista:rk(t-x**2,x,1,[t,0,4,0.1]);
wxplot2d([discrete,lista],[style,points]);

Neste gráfico você pode ver que nitidamente o conjunto de pontos pertence a
uma curva (que seria a solução analítica da EDO estudada).


** Há  um compromisso entre o número de pontos a serem calculados
   numericamente e o valor do incremento: para se manter uma boa qualidade
da solução numérica, vale a seguinte regra: quanto maior for o intervalo da
variável independente, menor terá que ser o valor do incremento. Outro
detalhe: para saber se um dado incremento produz uma solução adequada, basta
diminuir o valor dele: se ambos os incrementos delineam a mesma curva em em
gráfico, é porque o primeiro valor já era pequeno o suficiente.


** Vejamos como isto se dá com a seguinte EDO de primeira ordem:

(dy/dx)=-2*sin(x)*cos(x)+x**2*(cos(x))**2-x**2*y

com

y(x=0)=1.


** Para efeito de avaliação da qualidade da solução numérica, fique-se
   sabendo que a solução analítica para tal EDO é

y(x)=(cos(x))**2.


** Agora calcule a solução numérica nos seguintes casos:

intervalo  incremento
 [0,4]        0.1
 [0,8]        0.1
 [0,8]        0.01

Em cada caso, faça um gráfico plotando juntamente y(x) e a solução numérica
com o comando:

wxplot2d([[discrete,lista],y(x)],[x,0,8],[y,0,1],[style,points,lines])  

Perceba que a regra enunciada anteriormente se cumpre.




** A função rk também pode ser usada para resolver um sistema de EDO's de
   primeira ordem. Veja o manual, na seção "dynamics".